习题 2, § 10

设K为特征$\neq 2$的交换域，A和B将A的两个K-代数和$\alpha$K-线性映射转化为B； A 到 B 的 $\alpha$ 推导是 A 到 B 的 K-线性映射 $d$ 满足关系

在其他字，推导在定义1的意义上与$A = A' = A''$，$B = B' = B''$，$d = d' = d''$，$\mu$乘法在A，$\lambda_1$映射$(z, x) \mapsto z\alpha(x)$ $B \times A$ 进入 B 以及 $A \times B$ 的 $\lambda_2$ 映射 $(x, z) \mapsto \alpha(x)z$ 进入 B。

证明如果 B 是 交换域、K 的扩张和 $d \neq 0$，则 B 中存在$b \neq 0$，使得

如果$b = c^2$和$c \in B, c \neq 0$，则A到B中存在两个同态$f, g$，使得$\alpha(x) = (f(x) + g(x))/2$，$dx = (f(x) - g(x))/2c$。否则，存在 B 上的二次代数 ($§ 2$, no. 3) B'，$\mu \in B'$ 使得 $\mu^2 = c$，以及 A 到 B' 的同态 $f$ 使得$\alpha(x) = (f(x) + \overline{f(x)})/2$，$dx = (f(x) - \overline{f(x)})/2$。