Bourbaki

习题 12, § 11

标签 068W，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 068W]。

代数, III, 649

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令X=(ξij)X = (\xi_{ij})为阶nn之平方矩阵超过交换域KK；令HH为{1,n}\{1, n\}的子集，其中pp元素和H′H'是{1,n}\{1, n\}中HH的补集；假设对于指标 h∈H,k∈H′h \in H, k \in H' 中的每个有序对，

∑iξihξik=0. \sum_i \xi_{ih} \xi_{ik} = 0.
证明，对于 {1,n}\{1, n\} 和 pp 元素的所有子集 L,ML, M，
ρM′,M′det⁡(XL,H)det⁡(XM′,H′)−ρL,L′det⁡(XM,H)det⁡(XL,H′)=0. \rho_{M', M'} \det(X_{L, H}) \det(X_{M', H'}) - \rho_{L, L'} \det(X_{M, H}) \det(X_{L, H'}) = 0.
（将XX中指标h∈Hh \in H的列xhx_h视为E=KnE = K^n中的向量，并将指标k∈H′k \in H'中的列xk∗x_k^*视为向量 in E∗E^* 并证明 (n−p)(n - p) 形式 xH′∗x_{H'}^* 与 ϕp(xH)\phi_p(x_H) 成比例。）

解答

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