习题 17, § 11

设 K 为交换域，且 E 向量空间大于 K。

(a) 令$z$为E上的$p$向量$\neq 0$，并令$V_z$为向量$x$的E由……组成的向量子空间，使得$z \wedge x = 0$。然后$\dim(V_z) \leq p$；如果$(x_i)_{1 \leq i \leq q}$是$V_z$的向量的自由系统，则存在$(p - q)$向量$v$使得$z = v \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge x_q$。如果 E 是有限维的，则 $V_z = \overline{\phi}(M_z^0)$，其中 $M_z^0$ 是与 $z$ 关联的子空间 $M_z$ 在 $E^*$ 中的正交。要使$z$成为纯$p$向量，$\dim(V_z) = p$然后$V_z = M_z$是必要且充分的。

(b) 令$v$为纯$p$向量，$w$为纯$q$向量，并且E的V和W子空间分别与$v$和$w$相关联。在阶和$V \subset W$中，$q \geq p$是充分必要的，并且存在$(q - p)$-向量$u$使得$w = u \wedge v$。在阶和$V \cap W = \{0\}$中，v∧w≠0是充分必要的； 子空间 V + W 然后与纯 (p + q) 向量 v ∧ w 相关联。

(c) 设 u 和 v 为两个纯 p 向量，U 和 V 子空间分别与 u 和 v 相关。要使 u + v 是纯的，dim(U ∩ V) ≥ p − 1 是充分必要的。