Bourbaki

习题 4, § 11

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代数, III, 647

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令 E 为 A、E 的 mm 乘积 E⊗E→EE \otimes E \to E、cc 余积 E→E⊗EE \to E \otimes E、ee 单位元和 γ\gamma 余单位的交换大数。 (a) 证明对于每个*可交换* A-代数 B，合成的律与每个有序对相关联

(u,v)∈HomA−alg.(E,B)×HomA−alg.(E,B) (u, v) \in \mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B) \times \mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)
A-代数同态
E→cE⊗E→u⊗vB⊗B→mBB E \xrightarrow{c} E \otimes E \xrightarrow{u \otimes v} B \otimes B \xrightarrow{m_B} B
（其中mBm_B是B中的乘积），定义是HomA−alg.(E,B)\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)上的幺半群结构。 (b) 在阶中，对于每个交换律A-代数 B，HomA−alg.(E,B)\mathrm{Hom}_{A-\mathrm{alg.}}(E, B)为群，存在A-代数同态i:E→Ei: E \to E使得i(e)=ei(e) = e和复合映射是充分必要的m∘(1E⊗i)∘cm \circ (1_E \otimes i) \circ c和m∘(i⊗1E)∘cm \circ (i \otimes 1_E) \circ c都等于映射x↦γ(x)ex \mapsto \gamma(x)e。 ii 被称为 E 中的*反转*；它是 E 的同构到相反的大数E0E^0 上。

解答

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