习题 14, § 2

(a) 令M为幺半群，其合成的律用T表示；进一步假设 M 按序关系 x ≤ y 全序，使得关系 x < y 且 x' ≤ y'，或 x ≤ y 且 x' < y'，意味着 x T x' < y T y'。证明如果 A 是整环，则幺半群 M 的 A 上的代数不存在 0 的除子。

(b) 推论如果 A 为整环，则每个多项式代数 A[(X_i)_{i \in I}] 为整环。

(c) 如果 A 是整环并且 f 和 g 是 A[(X_i)_{i \in I}] 中的两个多项式，使得 fg 是齐次且 ≠0，则证明 f 和 g 是齐次的。特别是，环 A[(X_i)_{i \in I}] 的可逆元是环 A 的可逆元。