习题 18, § 2

令 K 为 K 上的一个不定多项式的交换域和 K[X] 环。 证明环 K[X] 的每自同构 s 都使 K 不变 (习题 14(c))，并且在该域的 K 自同构上存在诱导；进一步表明必然 s(X) = aX + b，其中 K 中 a ≠ 0 且$b \in K$ (cf. 习题 17)。 相反，证明给定 $K$ 的自同构 $\sigma$ 和 $K$ 的两个元素 $a, b$，使得 $a \neq 0$ 定义 $K[X]$ 中只有一个自同构 $s$ 使得$s|K = \sigma$ 和 $s(X) = aX + b$。 如果$G$是环$K[X]$的所有自同构的群和$K[X]$的$K$-代数结构的$G$由……组成的$N$子群，证明$N$是$G$的正规子群，并且$G/N$同构于域$K$的自同构群； 群 $N$ 与合成 $(\lambda, \mu)(\lambda', \mu') = (\lambda \lambda', \lambda' \mu + \mu')$ 的律在集合 $K^* \times K$ 上定义的群同构。