习题 25, § 2

设 A 为环，*可交换或其他方式*，并设 $\sigma$ 为 A 的自同态。在加法乘积群 $E = A^\mathbf{N}$ 上，合成的内部律可以通过写 $(\alpha_n)(\beta_n) = (\gamma_n)$ 来定义，其中 $\gamma_n = \sum_{p+q=n} \alpha_p \sigma^p(\beta_q)$ （按照约定$\sigma^0(\xi) = \xi$）。

(a) 证明这个律定义，E 上有加法，E 上有 环 结构，承认为单位元 $e$ 序列 $(\alpha_n)$，其中 $\alpha_0 = 1$ 和 $\alpha_n = 0$ 为$n \geq 1$。 映射与每个 $\xi \in A$ 元素 $(\alpha_n) \in E$ 相关联，使得 $\alpha_0 = \xi, \alpha_n = 0$ 对于 $n \geq 1$，是 A 的同构到 E 的子环，并与它进行识别。然后我们将所有$\beta \in A$写为$\sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$而不是$(\alpha_n)$和$X^p \beta = \sigma^p(\beta) X^p$；如果$u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n \neq 0$，最小的整数$n$，则$\alpha_n \neq 0$称为$u$的*阶*，并记为$\omega(u)$。

(b) 如果 A 是环，且除子不为 0，并且 $\sigma$ 是 A 的同构到 A 的子环，则证明 E 为环，除子不为 0，且

对于 $u \neq 0$ 和 $v \neq 0$。

(c) 为了使 $u = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n X^n$ 可逆，$\alpha_0$ 在 A 中可逆是充分必要的。

(d) 假设 A 是域和 $\sigma$ A 的 自同构。证明 E 承认左分式的域 (I, § 9, 习题 15)，并且在这个域 F 中每元素 $\neq 0$可以唯一地写成形式$u X^{-h}$，其中$u$是阶0的E的元素。