习题 1, § 4

设A为交换环，E、F为两个A-代数，M为左E模，N为左F模，G为代数$G = E \otimes_A F$。对于自同态$u \in \mathrm{End}_E(M)$、$v \in \mathrm{End}_F(N)$的每一个有序对，$M \otimes_A N$存在一个且仅有一个G自同态$w$，使得$w(x \otimes y) = u(x) \otimes v(y)$对应于$x \in M, y \in N$，我们可以写出$w = \phi(u \otimes v)$，其中$\phi$是将$\mathrm{End}_E(M) \otimes_A \mathrm{End}_F(N)$的A-线性映射（称为*规范*）转换为$\mathrm{End}_G(M \otimes_A N)$。假设接下来 A 是 域。

(a) 证明典范映射 $\phi$ 是单射的（考虑元素 $z = \sum_i u_i \otimes v_i$，其中 $v_i \in \mathrm{End}_F(N)$ 在 A 上线性无关，并为 A 上的 M 的基的每个元素 $x_\alpha$ 写出 $(\phi(z))(x_\alpha \otimes y) = 0$ 以及所有$y \in N$）。

(b) 假设 M 是一个“有限生成的自由”E 模块。证明映射 $\phi$ 在以下每种情况下都是双射的： (1) E 的有限秩大于域 A； (2) N 是有限生成的 F 模。

(c) 假设 M 是一个*自由* E 模，并且存在 F 模 N 的 $y \in N$ 和自同态的无限序列 $(v_n)$，使得 $v_n(y)$ 生成的 N 的向量子空间（在 A 上）在 A 上具有无限秩。证明，如果映射 $\phi$ 是双射的，M 在 E 上的每个基必然是*有限*。

(d) 仍然假设 M 是一个“自由”E 模块。证明，要使 G 模 $M \otimes_A N$ 忠实，F 模 N 忠实是必要且充分的（考虑 E 相对于 A 的基）。