习题 3, § 5

令 M 为有限生成的射影 A-模。对于 M 的每个自同态 u，令 ũ 表示张量 θ_M^{-1}(u) ∈ M* ⊗_A M 相应的。

(a) 对于每个元素 x ∈ M，证明 u(x) = c_2^1(x ⊗ ũ)，其中 x ⊗ ũ 属于到 M ⊗ M* ⊗ M = T_{\{2\}}^{(1, 3)}(M)。

(b) 令 u, v 为 M 的两个自同态，且 w = u ◦ v；证明 ũw = c_3^2(ũ ⊗ ũ)，其中 ũ ⊗ ũ 属于到 T_{\{1, 3\}}^{(2, 4)}(M)。

(c) 对于 M 的每自同构 s 和每张量 z ∈ T_J^I(M)，张量 s 。 z ∈ T_J^I(M) 由条件定义，如果 $z = \bigotimes_{k \in I \cup J} z_k$ 其中 z_k ∈ M（对于 k ∈ I）且 z_k ∈ M*（对于 k ∈ J），则 s 。 z = $\bigotimes_{k \in I \cup J} z'_k$ 且 z'_k = s(z_k) if k ∈ I, z'_k = t_s^{-1}(z_k) \text{ if } k \in J. 证明群 $\mathbf{GL}(M)$ 通过律 $(s, z) \mapsto s . z$ 在 A-模上运算$T_J^1(M)$，映射$z \mapsto s . z$是这个A-模的自同构。此外，对于指标$i \in I$、$j \in J$中的每一个有序对，

如果 M 是射影且有限生成，则在习题 2 的记号中显示 $s . \tilde{u} = (s \circ u \circ s^{-1})^\sim$。