习题 6, § 5

令 K 为交换域，E、F 两个K-代数，每个单位元与 K 的单位元 1 相同。考虑K-代数 $T(E \oplus F)$，其中$E \oplus F$ 被视为 K 上的向量空间； E（分别为 F）在典范嵌入下用 $T(E \oplus F)$ 的 向量子空间 进行标识。设$J$为元素$x_1 \otimes x_2 - (x_1x_2)$和$y_1 \otimes y_2 - (y_1y_2)$生成的$T(E \oplus F)$的两侧理想，其中$x_i \in E$，$y_i \in F$，$i = 1, 2$；让 $E * F$ 表示商代数 $T(E \oplus F)/J$；它被称为 K-代数 E 和 F 的*自由乘积*；令$\phi$表示$T(E \oplus F)$的典范同态到$E * F$和$\alpha$，以及$\phi$的$\beta$限制到E和F； $\alpha$和$\beta$是K-*代数*同态。

(a) 证明对于 K-代数 G 中的每一个有序对个 K-同态 $u : E \to G,$ v : F → G，存在一个且仅有一个 K-同态 w : E \* F → G 使得 u = w ∘ α 和 v = w ∘ β （这证明了术语）。

(b) Let R_n be the vector subspace of T(E ⊕ F) the sum of the T^k(E ⊕ F) for 0 ≤ k ≤ n and write J_n = J ∩ R_n. 表明，如果我们考虑 1 的 E 由……组成的基和一个族 (e_\lambda)_{\lambda \in L} 和 1 的 F 由……组成的基和一个族 (f_\mu)_{\mu \in M}，则获得 J_n + R_{n-1} 的补充子空间在 R_n 中，考虑 R_n 的子空间和基元素形式 z_1 \otimes z_2 \otimes \cdots \otimes z_n 其中，对于 2j + 1 ≤ n，z_{2j+1} 等于 e_\lambda 之一，并且 z_{2j} 等于 f_\mu 之一2j ≤ n，或对于 2j + 1 ≤ n，z_{2j+1} 等于 f_\mu 之一，而对于 2j ≤ n，z_{2j} 等于 e_\lambda 之一（通过 n 上的归纳论证）。

(c) 设 P_n = \phi(R_n) \子集 E \* F；那么 P_n \子集 P_{n+1}，P_0 = K，P_h P_k \子集 P_{h+k} 且 E \* F 是 P_n 的并。证明存在一个规范的向量空间同构，对于 n ≥ 1，

其中，对于 k 奇数，我们写 G_k = E/K；对于 k 偶数，我们写 G_k = F/K。特别是同态 α 和 β 是单射的，这使得我们可以用 E \* F 的子 K 代数来计算认同 E 和 F。 P'_n (resp. P''_n) 用于表示 G_1 \otimes G_2 \otimes \otimes G_n (resp. G_2 \otimes) 的 P 中的逆像 G_3 \otime \cdots \otime G_{n+1}); 元素 z \in E \* F 的高度，用 h(z) 表示，为最小的整数，使得 z \in P_n；如果 h(z) = n 且 z \in P'_n （或 z \in P''_n），则 z 称为纯奇数（或纯偶数）。那么 P_n = P'_n + P''_n 且 P'_n \cap P''_n = P_{n-1}（n ≥ 1）。

(d) 证明，如果 u, v 是 E \* F 的两个元素，使得 h(u) = r, h(v) = s，则 h(uv) ≤ h(u) + h(v) 并且 h(uv) = h(u) + h(v) 除非 u 和 v 是纯的，并且 r 是偶数且 u、v 不相同，或者 r 是奇数且 u、v 相同平价。 （如果对于例 r 是偶数，则 u \in P'_r，v \in P'_s，表明仅当 u \in P_{r-1} 或 v \in P_{s-1} 时 uv \in P_{r+s-1} 才可能。）

(e) 假设 E 没有零的除子，并且在 (d) 的记号中，假设 r 是偶数，u 是纯偶数，v 是纯奇数。证明 h(uv) = r + s - 1, 除非存在 E 的两个可逆元 x, y，使得 uy \in P_{r-1} 和 xb \in P_{s-1}。 （令 (a_i)（分别为 (b_j)）为 (b) 中考虑的 R_r 中的 J_r + R_{r-1}（分别为 R_s 中的 J_s + R_{s-1}）的补充子空间的基；写 u = \和_i \phi(a_i)x_i 和 v = \和_j y_j\phi(b_j)，其中 x_i 和 y_j 在 E 中，并表明，如果 uv \在 P_{r+s-2} 中，则必然 x_iy_j \在 K 中。）当假设 E 和 F 没有除子或零时，类似地处理 h(uv) < h(u) + h(v) 的其他情况。

(f) 由(d)和(e)推出，当E和F没有零的除子时，E \* F也没有。

(g) 将上述定义和结果推广到单位K-代数的任何有限数。