习题 7, § 5

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代数, III, 630

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 E 为域 K 上有限维 n 的向量空间。对于每个整数 r $\geqslant 1$ ，对称群 $S_r$ 在张量积 $E^{\otimes r}$ 上线性运算作用 $(\sigma, z) \mapsto \sigma . z$ ，使得

\sigma . (x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_r) = x_{\sigma^{-1}(1)} \otimes x_{\sigma^{-1}(2)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma^{-1}(r)}

对于 E 的 r 向量 $(x_i)_{1 \leq i \leq r}$ 的每个序列，令 $u_\sigma(z) = \sigma . z$ 。证明对于 E 的 r 自同态的每个序列 $(v_i)_{1 \leq i \leq r}$ ，

(*)

\operatorname{Tr}(u_\sigma \circ (v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_r)) = \operatorname{Tr}(w_1) \operatorname{Tr}(w_2) \ldots \operatorname{Tr}(w_k)

其中E的自同态 $w_j$ 定义如下： $\sigma^{-1}$ 分解为循环， $\sigma^{-1} = \lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_k$ ，如果 $\lambda_j = (i_1 \ i_2 \ldots i_n)$ ，我们写

w_j = v_{i_1} \circ v_{i_2} \circ \cdots \circ v_{i_n}.

（当每个 $v_i$ 为形式 $x \mapsto \langle x, a_h^* \rangle a_k$ 时，约化用于计算 (*) 的左侧，其中 $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$ 为 E 的基和 $(a_j^*)_{1 \leq j \leq n}$ 对偶基。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

无。