习题 9, § 5

设A为交换环，F为整数$I = \{1, n\}$的集合在A上的自由结合代数，其中$n \geq 2$和$X_i$($1 \leq i \leq n$)相应的不确定，因此F在A上的典范基包含乘积 $X_{i_1} X_{i_2} \ldots X_{i_r}$，其中$(i_1, \ldots, i_r)$是$I$的元素的任意有限序列。

(a) 让$C_2$表示$1 \leq i < j \leq n$的换位子$[X_i, X_j] = X_i X_j - X_j X_i$中的集合。假设定义了$C_{m-1}$，则$C_m$表示元素$[X_i, P] = X_i P - P X_i$中的集合，其中$1 \leq i \leq n$和P穿过$C_{m-1}$。令U为1生成的F的分级子代数和$m \geq 2$的$C_m$的并。证明，对于$1 \leq i \leq n$，$[X_i, P] \in U$对于所有$P \in U$（仅限于P是$\bigcup_m C_m$的元素的乘积的情况，并通过归纳对因子的数争论）。

(b) 假设从现在开始 A 是域。对于每个整数 $m \geq 0$，令 $U_m$ 为 U 中次数 m 的齐次元素的向量 A 空间（因此 $U_0 = A, U_1 = \{0\}$）； $U_m$、$\bigcup_{k \leq m} C_k$元素乘积由……组成各选择基$R_{m,1}, \ldots, R_{m,d_m}$。对于整数$(m, k)$的每个有序对使得$m \geq 2, 1 \leq k \leq d_m$，令$E_{m, k}$是$R_{p, j}$生成的U的向量子A空间，使得$p > m$或$p = m$和$j \geq k$；证明$E_{m, k}$是U的两侧理想，如果$L_{m, k}$是$E_{m, k}$生成的F的左理想，则$L_{m, k}$是F的两侧理想。

(c) 对于每个多重索引$\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbf{N}^n$，我们写

证明 F 的元素 $X^\alpha R_{m, k}$ ($m > 0, 1 \leq k \leq d_m$) 形式基超过 K。 （为了证明向量空间 F 的元素形式生成的系统，证明每个元素 $X_{i_1} \ldots X_{i_r}$ 是线性组合与次数 r 上的归纳。要看到 $X^\alpha R_{m, k}$ 是线性独立的，请通过 归谬法 论证相对于 $X_i$ 之一的最大值次数。单项式$X^\alpha$将出现在$X^\alpha R_{m, k}$之间的线性关系中，并在该最大值次数上继续进行归纳；对于这个，约化它到K是无限的情况（如果需要，考虑$F \otimes_K K'$对于扩张） K 的域 $K'$），并观察当 $X_i + \lambda$ 在 $R_{m, k}$ 中替换为 $X_i$ 时，对于某些 $\lambda \in K'$，元素 $R_{m, k}$ 不变）。

(d) 证明F的元素的换位子$[u, v] = uv - vu$生成的F的两侧理想$\mathfrak{J}(F)$是$m \geq 2$的$U_m$的和； $F/\mathfrak{J}(F)$ 与 $A[X_1, \ldots, X_n]$ 同构的，因此是整环。

(e) 通过证明证明代数 U 不是自由结合律代数，商 $U/\mathfrak{J}(U)$（其中 $\mathfrak{J}(U)$ 由 U 的元素的换位子生成）承认幂零元 $\neq 0$。 （考虑U的元素$z = [X_i, X_j]$的$U/\mathfrak{J}(U)$中的像$z'$；${z'}^2 \neq 0$但${z'}^4 = 0$。）