习题 4, § 6

令$A$为交换环，且$a$为$A$的理想。 理想 $a$的Rees 代数是一个不定式中多项式代数$A[T]$的子代数$R(a)$，多项式$c_0 + c_1 T + \cdots + c_n T^n$的由……组成，其中$c_0 \in A$和$c_k \in a^k$对于每个整数$k \geq 1$。

(a) 证明存在且仅有一个满射$A$-代数同态$r : S(a) \to R(a)$，使得$r$到$a$的限制是$A$-线性映射$x \mapsto xT$。

(b) 假设环$A$为整环。令$a_1, \ldots, a_n$为$A$与$a_n \neq 0$的元素；考虑 $A$-代数同态

这样$u(X_i) = a_i T$。 核 $r = \mathrm{Ker}(u)$ 是分级理想，其次数 $m$ 的齐次分量 $r_m$ 由次数 $m$ 的齐次多项式 $f$ 组成，使得 $f(a_1, \ldots, a_n) = 0$。如果$r' \subset r$是由$r$的齐次分量$r_1$生成的$A[X_1, \ldots, X_n]$的理想，则证明$A$模$r/r'$是挠元$A$模。 （为了验证，对于所有$f \in r_m$，在$A$中存在$c \neq 0$使得$cf \in r'$，由归纳对$m$争论，通过写

其中 $f_j$ 是次数 $m - 1$ 的齐次；考虑多项式 观察 $g \in r_1 \subset r'$ 和形式 $a_n^{m-1} f - X_n^{m-1} g.$）

(c) 由(b)推导出，当$A$为整环时，(a)的同态$r$的核为$S(a)$的挠元模。推出，为了使$S(a)$成为整环，$S(a)$是无扭$A$模是充分必要的。特别是，如果理想的$a$是射影$A$模，则$S(a)$是整环并且同构于$R(a)$。