习题 18, § 8

令$\mathbf{E}$和$\mathbf{F}$分别为$u$的维数$m$和$n$、$u : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$线性映射和$X$矩阵相对于任意两个的自由$\mathbf{A}$模块$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{F}$ 中的基。 (a) 如果 $m \geq n$ 并且存在阶 $n$ 的小数 $X$ 且可逆，则 $u$ 是满射。 (b) 相反，如果 $u$ 是满射，则证明 $m \geq n$ 并且存在阶 $n$ 的非零次要 $X$。如果进一步，在环$A$中，不可逆元素生成的理想与$A$不同，则存在阶$n$的小$X$是可逆的（考虑外部幂$\bigwedge^n u$）。

(c) 设$B$为交换环且$A$乘积环$B \times B$。将 $A$-模$A^2$的满射线性映射的例赋予$A$，其矩阵的所有元素（相对于$A^2$和$A$的规范基）是除子 / 零。