习题 20, § 8

令$A$为交换环，$M$为任意$A$模块，$U = (\alpha_{ij})$矩阵为型$(m, n)$，元素位于$A$中。

(a) 假设$m = n$并设$\Delta = \det(U)$；那么，如果 $x_1, \ldots, x_n$ 是 $M$ 的元素，使得 $1 \leq i \leq n$ 对应 $\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = 0$，则每个指标 $i$ 对应 $\Delta x_i = 0$。

(b) 假设$m$和$n$是任意的，阶$> r$的$U$的所有小数都是零，并且阶$r$的小数是可逆的，对于例矩阵$(\alpha_{ij})$，其中$i \leq r$和$j \leq r$；那么如果$a_i$表示$U$中指标$i$的行，则所有$A^n$的子模的指标$\leq r$形式基的$a_i$ $U$ 行；对于$i > r$，因此$a_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} a_k$。则令$y_1, \ldots, y_m$为$M$的元素；对于$1 \leq i \leq m$，存在方程$\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x_j = y_i$的$M$满足系统的元素$x_1, \ldots, x_n$，$y_i = \sum_{k=1}^r \lambda_{ik} y_k$对于$i > r$是充分必要的。