习题 21, § 8

设$K$为无限交换域、$m, n, r$三个整数$\geq 0$，使得$r \leq n \leq m$、$\mathbf{M}_{m,n}(K)$向量$K$-空间（维数$mn$）由……组成型 $(m, n)$ 的矩阵超过$K$ 和$V$ 向量子空间 $\mathbf{M}_{m,n}(K)$，使得$r$ 为秩的最大的值矩阵$X \in V$。我们建议证明不等式

(*) $\dim(V) \leq mr.$

(a) 表明我们可以假设 $m = n$ 和矩阵

属于至 V。推断每个矩阵 $X \in V$ 都是形式

（其中 $X_{11}$ 为阶 $r$）和条件 $X_{21}X_{12} = 0$（使用以下事实：对于所有 $\xi \in K$，矩阵 $\xi X_0 + X$ 为秩 $\leq r$）。

(b) 从 (a) 推出，对于 V 中的两个矩阵 $X, Y$，

(c) 对于每个矩阵 $X \in V$，我们写 $F(X) = (X_{11}X_{12}) \in M_{r,n}(K); f$ 是线性映射和 $\dim(V) = \dim(\operatorname{Im}(f)) + \dim(\operatorname{Ker}(f))$。另一方面，让$u_x$表示$M_{r,n}(K)$上的线性形式$(Y_{11}Y_{12}) \mapsto \operatorname{Tr}(X_{21}Y_{12})$。证明$\operatorname{Ker}(f)$到对偶$(M_{r,n}(K))^*$的线性映射$X \mapsto u_X$是单射的；通过注意到$\operatorname{Ker}(f)$的$X \mapsto u_X$下的像包含在$\operatorname{Im}(f)$的正交中，完备的(*)的证明。