习题 26, § 8

(a) 在命题 19 (no. 10) 的记号中，假设存在两个$M[X]$到$M'[X]$的$A[X]$线性映射$g_1, g_2$，使得$\psi' \circ g_2 = g_1 \circ \psi$；表明存在$M_u$到$M'_u$的$A[X]$线性映射$g$，使得$\phi' \circ g_1 = \phi' \circ \bar{g}$。此外，如果$g_1$和$g_2$是$M[X]$到$M'[X]$的$A[X]$同构，则$g$是$M_u$到$M'_u$的$A[X]$同构。

(b) 在no. 10的记号中，如果$M$中存在两个同构$f_1, f_2$到$M$使得$u' \circ f_2 = f_1 \circ u$存在，则自同态$u, u'$称为等价；如果存在$M$的同构$f$到$M'$使得$u' \circ f = f \circ u$，则它们被称为相似。从 (a) 推断，要使 $u$ 和 $u'$ 相似，自同态 $X - \bar{u}$ 和 $X - \bar{u}'$（分别属于 $A[X]$ 模块 $M[X]$ 和 $M'[X]$）是等价的。