习题 3, § 1

a) 在 A 上的一个不定多项式的代数 $A[X]$ 中，映射 $(u, v) \mapsto u(v)$ 是合成的内律；证明这个律相对于$A[X]$中的加法和乘法在左侧具有结合性和分配性。 b) 若$A$为整环则证明关系$u(v) = 0$意味着$u = 0$或$v$为常数，并且当$u \neq 0$和$\deg v > 0$时，$u(v)$的次数等于乘积次数共 $u$ 和 $v$。 c) 从现在开始假设$A$是域。令u和v为$A[X]$中次数$> 0$的两个多项式，f为次数$> 0$的多项式；证明如果 q 是商，r 是 u 在欧几里得除法中除以 v 的余数，$q(f)$ 和 $r(f)$ 是$u(f)$ 欧几里得除法中除$v(f)$ 的商和余数。 d) 对于$A[X]$的每个多项式f，用形式$u(f)$的所有多项式的I(f)集合表示，其中u的范围大于$A[X]$；这是 $A[X]$ 中的子环。对于$I(f) = I(g)$，$g = \lambda f + \mu$是充分必要的，其中$\lambda \neq 0$和$\mu$在$A$中。 e) 设f和g为$A[X]$中次数$> 0$的两个多项式；表明$I(f) \cap I(g)$等于A或形式$I(h)$，其中h是次数$> 0$的多项式（排除第一种可能性，在$I(f) \cap I(g)$中考虑一个最不可能的次数$> 0$的多项式h）。