习题 10, § 5

用 k 交换环和 E K-模表示。对于每个整数$p \geq 0$和每个K-代数L，我们用$L \otimes E$的$\gamma_{p,L}$映射表示为由$\Gamma_p(L \otimes E)$的$\gamma_p : L \otimes E \to \Gamma_p(L \otimes E)$和典范同构组成的$L \otimes \Gamma_p(E)$到$L \otimes \Gamma_p(E)$ （cf.习题2 和 7）。

a) 验证 E 的映射 $\gamma_{p,L}$ 形式多项式律 (习题 9) 到 $\Gamma_p(E)$，它是次数 p 的齐次；这个律在下文中将用$\gamma_p$表示。证明对于每个 K-模 F 和每个 $u \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$ 映射 $\varphi_L = (\mathrm{Id}_L \otimes u) \circ \gamma_{p,L}$ 形式，E 到 F 的多项式律是次数 p 的齐次多项式。这个律称为与u相关的律。

设$(x_i)_{i \in I}$是E的元素的族，$(a_i)_{i \in I}$是L的元素的有限支撑的族。表明

其中 $|\xi| = \sum_i \xi(i)$、$a^\xi = \prod_i a_i^{\xi(i)}$ 和 $\gamma_\xi(x) = \prod_i \gamma_{\xi(i)}(x_i)$。

b) 令 Q 为 E 到 K-模 F 的多项式律，次数 p 的齐次。证明 F 中存在唯一的 $\Gamma_p(E)$ 线性映射 $\sigma$，使得 Q 与 a 相关联律。 （首先假设 E 在基 $(x_i)_{i \in I}$；利用习题 9 上是免费的，证明在这种情况下存在唯一映射 $\sigma \in \mathrm{Hom}(\Gamma_p(E), F)$，使得习题 9 的关系 (1) 对每个代数 L 和每个家庭都成立$(a_i)_{i \in I}$ 与 L 元素有限支撑。 针对一般情况引入自由K-模$E'$和满同态$h : E' \to E$。 由h定义的律组成的多项式律$\varphi$是$E'$到F中的多项式律，与线性映射$\sigma' : \Gamma_p(E') \to F$相关；表明 $a'$ 是$\Gamma_p(h)$ 和映射 $a : \Gamma_p(E) \to F$ 的复合，使得 Q 与 $\sigma$ (cf. 习题 2, f)) 相关联。