习题 12, § 5

令 k 为交换环，E K-模且 B K-代数（不一定是结合的）。令 A 为 $\Gamma(E)$ (cf. 习题 3) 中的余积。对于任何级数 a，$\sigma' \in S(E, B)$，我们用 $\sigma . \sigma'$ 级数 m $\circ (a \otimes a') \circ A$ 表示，其中 m 表示由 B 中的乘积定义的 B 中 $B \otimes_k B$ 的线性映射。 a) 在 $S(E, B)$ K-代数结构 (cf. 习题 11) 上证明映射 $(\sigma, \sigma') \mapsto \sigma . \sigma'$ 定义。证明如果 B 是结合律（或可交换、单位），则 $S(E, B)$ 是结合律（或可交换、单位）(cf. III, p. 578-584)。 b) 假设 B 是结合且单位的。证明 $S(E, B)$ 的可逆元是级数 $\sigma$，使得 $\sigma(1)$ 在 B 中可逆。 c) 假设 E 是自由K-模，$(e_i)_{i \in I}$ 是 E 的基。对于每个 $a \in \mathbf{N}^{(I)}$，放置 $e^{(a)} = \Pi \gamma_{a(i)}(e_i)$ 并用 $f^a$ 级数表示，其中值在由 $f^a(e^{(\beta)}) = \delta_{a,\beta}$ 定义的 k 中（克罗内克） 指标) 每$\beta \in \mathbf{N}^{(I)}$ (cf. 习题 8)。证明对于任何 $a, \beta \in \mathbf{N}^{(I)}$ 都有 $f^a f^\beta = f^{a + \beta}$。推论当I有限时，代数$S(E, k)$同构于形式幂级数$k[[X_i]_{i \in I}]$的代数。