习题 15, § 5

与Ex中的记号一样。 14、令$E, F, G$为三个K-模、$\sigma \in S(E, F)$、$\tau \in S(F, G)$，并假设$\sigma$为阶$\geq 1$。 级数$\tau \circ A(\sigma) \in S(E, G)$称为$a$和$\tau$的合成；用$\tau \circ a$表示。 a) 令$\varphi$为$E$到$F$的多项式律（例9），$\psi$为$F$到$G$的多项式律，并用$a_\varphi$表示$\sigma_\psi$ 级数分别与 $\varphi$ 和 $\psi$ 相关。证明如果 $\varphi$ 的次数 0 的齐次分量为零，则$\sigma_\varphi$ 为阶 $\geq 1$，$\sigma_\psi \circ \sigma_\varphi$ 为级数，与多项式律 $\psi \circ \varphi$ 相关。 b) 证明如果$a$是阶$\geq p$并且$\tau$是阶$\geq q$，那么$\tau \circ \sigma$是阶$\geq pq$。 c) 证明对于每个整数 $p$，$(\tau \circ \sigma)^{(p)} = \tau^{(p)} \circ A(\sigma)$。推断如果$\tau$是阶$\geq 1$并且如果$H$是K-模，那么对于任何$\rho \in S(G, H)$我们有$(\rho \circ \tau) \circ a = \rho \circ (\tau \circ \sigma)$。 d) 假设 $G$ 是 K-代数。证明映射$\tau \mapsto \tau \circ A(\sigma)$是代数$S(F, G)$的同态变成代数$S(E, G)$。