习题 14, § 6

令 $L$ 为有限有序集合和 $A$ 交换环。在方阵的环$M$超过$A$且指标集合$L$、矩阵$m = (m_{uv})$的集合使得$m_{uu} = 0$除了当$u \leq v$是子环$B$。

a) $B$的元素$m = (m_{uv})$在$B$中可逆，当且仅当$m_{uu}$对于所有$u \in L$在$A$中可逆。

b) 假设从此以后$A = \mathbf{Z}$。如果$u \leq v$，则令$\zeta$ 为由$\zeta(u, v) = 1$ 定义的$B$ 的元素，否则为$\zeta(u, v) = 0$。证明 $S$ 在 $B$ 中有一个逆 $\mu$（也写作 $\mu_L$）（称为 $L$ 的莫比乌斯函数）。设$f$和$g$是$L$到$\mathbf{Z}$的两个映射。显示关系

和 是等价的。

c) 假设$L$是有序集$L_1, \ldots, L_r$有限族中的乘积。表明

对于$x = (x_1, \ldots, x_r)$和$y = (y_1, \ldots, y_r)$，使得$x \leq y$。

d) 令$m \geq 1$为整数，令$D$为$m$的除子集合，配备序关系《$x$除$y$》。证明$\mu_D(x, y) = (-1)^s$，其中$s$是素数数$p$的基数集合除以$y/x$，当$y/x$不能被整数的平方整除时，否则为$\mu_D(x, y) = 0$。 （通过应用 c）约化到$m$是素数数的幂的情况。）

e) 假设有序集合 $L$ 是格序的。令$a, b, c$不同于$L$的元素，使得$a \leq b \leq c$，并让$\Phi$是$x \in L$的集合，使得$a \leq x$和$\sup(x, b) = c$，以及$\Psi$相应的集合定义$y \leq c$ 和 $\inf(y, b) = a$。表明我们有关系

f) 令$T$为$T$上等价关系的有限集合和$\mathscr{R}(T)$集合，按关系排序 « $R$是更细比$S$»，写成$R \leq S$。证明 $\mathscr{R}(T)$ 是格序的。设$\mathscr{R}$中的$R, S$使得$R \leq S$；令$U_1, \ldots, U_k$为$S$下的等价类，对于$1 \leq i \leq k$，令$\alpha_i$为$U_i$中包含的$R$下的等价类的数。表明

（如果$U_i$包含的$R$下$A_i$是等价类的集合，则观察$\mathscr{R}(T)$的区间$(R, S)$与$\mathscr{R}(A_1) \times \ldots \times \mathscr{R}(A_r)$同构的，将c）和约化应用于以下情况： $R$是$\mathscr{R}(T)$和$S$最大的中最小的元素；使用 e)) 处理最后一种情况。