习题 15, § 6

令 $T$ 为有限集合，且$k$ 元素。我们用$\mathbf{N}^k$的元素$(a_1, \ldots, a_k)$中的$D_k$集合表示，使得$a_1 + \ldots + a_k = k$和$a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_k$。对于T中的每个等价关系R，我们将$D_k$的元素$\lambda(R)$关联如下：如果$U_1, ..., U_l$在R下是等价类，编号为$\mathrm{Card}(U_i) \geq ... \geq \mathrm{Card}(U_l)$，则将$\lambda(R) = (\alpha_1, ..., \alpha_k)$与$\alpha_i = \mathrm{Card}(U_i)$放在一起，如果$1 \leq i \leq l$和$\alpha_i = 0$ 如果$1 < i \leq k$。令 $X_n$ ($n \in \mathbf{N}$) 不定；对于每个$R \in \mathscr{H}(T)$放入$r(R) = \sum_{f} \prod_{i \in I} X_{f(i)}$，其中总和扩展到映射$f : T \to \mathbf{N}$的集合，使得R是等价关系与$f$相关联。输入$s(R) = \sum_{S \neq R} r(S)$。

a) 证明$r(R) = \prod_{i=1}^{k} r_i . M(\lambda(R))$，如果等价类的$r_i$在基数i的R弧下，对于$1 \leq i \leq k$。 （参见IV的公式（11），p. 65参见$M(\alpha)$的定义。）

b) 证明关系 $S(R) = \prod_{i=1}^{k} p_i^{r_i}$，其中 $r_i$ 如 a) 中所示，并且对于每个整数 $m \geq 1$，$p_m = \sum_{n \in \mathbf{N}} X_n^m$。

c) 显示$r(R) = \sum_{S \neq R} \mu(R, S) s(S)$，其中$\mu(R, S)$ 的定义如习题 14 中所示。

d) 因此，将 $s_k$ 的表达式推导出为 $p_1, ..., p_k$ 中具有有理系数的多项式，其中 $s_k = \sum_{i_1 < ... < i_k} X_{i_1} ... X_{i_k}$。

e) 对于$a \in D_k$，输入$S'(\alpha) = \prod_{i=1}^{k} s_{\alpha_i}$。显示 $S'(\alpha) = \sum_{\beta \in D_k} c'_{\alpha \beta} . M(\beta)$，其中整数 $c'_{\alpha \beta}$ 定义如下：假设 $a$（分别为 $\beta$）的分量中的 $r_i$（分别为 $s_i$）等于 i（对于 $1 \leq 1 \leq k$）。那么$c'_{\alpha \beta}$是乘积$Nr,!... r_k!s_1!... s_k!/k!$，其中N是T上等价关系R，S的对的数使得$\lambda(R) = a, \lambda(S) = \beta$并且使得R下的等价类的交和S下的等价类最多有一个元素。推导出对称性关系 $c'_{\alpha \beta} = c'_{\beta \alpha}$。

f) 证明$D_k$存在对合$a \mapsto \tilde{\alpha}$，其特征在于，对于i、j在1到k范围内，关系、$i \leq a,$和$j \leq \tilde{\alpha}_i$是等价的。证明 $S'(\alpha) = S(\tilde{\alpha})$ 和 $c'_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}}$。因此得到关系$c_{\alpha \beta} = c_{\tilde{\alpha} \tilde{\beta}}$（其中记号为IV，p. 66）。

约定（cf.页IV，66）。

诸如$p^\alpha \cdot q^\beta \ldots$之类的符号，其中$p, q, \alpha, \beta, \ldots$是整数$\geq 1$，表示$D_k$的元素，其中$k = p\alpha + q\beta + \ldots$具有等于$p$的$\alpha$分量，$\beta$等于$q$的分量，等等。 $3 \cdot 1^2$表示$D_5$中的元素等于$(3, 1, 1, 0, 0)$，而$1^4$表示$D_r$中的元素$(1, 1, 1, 1)$。

在矩阵C的指标$\alpha$行的右侧给出$S(\alpha)$作为$s_1, \ldots, s_k$单项式的表达式。对于例，对于$k = 3$和$\alpha = 2 . 1$，我们有

我们对矩阵 D 的列使用了相应的约定。对于例、$k = 4$ 和 $\alpha = 2^2$，我们有

我们记得，对于环$\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$中的$1 \leq i < j \leq n$，$M(2^2)$是形式$X_i^2 X_j^2$的所有单项式的和。

空框表示矩阵C和D中的零元素。

k = 2 2 1^2 2 1 2 S_1^2 1^2 1 S_2

2 1^2 2 1 -2 1^2 1 S_1^2 S_2

k = 3 3 2.1 1^3 3 1 3 6 S_1^3 2.1 1 3 S_1 S_2 1^3 1 S_3

3 2.1 1^3 3 1 -3 3 2.1 1 -3 1^3 1 S_1^3 S_1 S_2 S_3

k = 4 4 3.1 2^2 2.1^2 1^4 4 1 4 6 12 24 S_1^4 3.1 1 2 5 12 S_1^2 S_2 2^2 1 2 6 S_2^2 2.1^2 1 4 S_1 S_3 1^4 1 S_4

矩阵C

4 3.1 2^2 2.1^2 1^4 4 1 -4 2 4 -4 3.1 1 -2 -1 4 2^2 1 -2 2 2.1^2 1 -4 1^4 1

S_1^4 S_1^2 S_2 S_2^2 S_1 S_3 S_4 矩阵D

表

k = 5 5 4.1 3.2 3.1^2 2^2.1 2.1^3 1^5 5 1 5 10 20 30 60 120 S_1^5 4.1 1 3 7 12 27 60 S_1^3 S_2 3.2 1 2 5 12 30 S_1 S_2^2 3.1^2 1 2 7 20 S_1^2 S_3 2^2.1 1 3 10 S_2 S_3 2.1^3 1 5 S_1 S_4 1^5 1 S_5

矩阵C

5 4.1 3.2 3.1^2 2^2.1 2.1^3 1^5 5 1 -5 5 5 -5 -5 5 4.1 1 -3 -1 5 1 -5 3.2 1 -2 -1 5 -5 3.1^2 1 -2 -1 5 2^2.1 1 -3 5 2.1^3 1 -5 1^5 1

S_1^5 S_1^3 S_2 S_1 S_2^2 S_1^2 S_3 S_2 S_3 S_1 S_4 S_5 矩阵D