习题 5, § 6

令$K$为交换域且$f \in K[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$；对于每个置换 $\sigma \in S_n$ 都用 $\sigma f$ 表示有理分数

那么，如果 $u f = f$ 对于所有 $\sigma \in S_n$，则 $f$ 被称为关于对 $(X_i, Y_i)$ 对称。 a) 对于$\mathbf{N}^{2n}$的每个元素$\nu = (A, \ldots, A, \mu_1, \ldots, \mu_n)$和每个置换$\sigma \in S_n$写入

这样$\mathfrak{S}_n$就变成了$\mathbf{N}^{2^n}$上的操作符群。令$\gamma$为$\mathbf{N}^{2^n}$中$\mathfrak{S}_n$的任意轨道，并用$u_\gamma$表示对称多项式

其中 $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$ 的范围超过 $\gamma$。证明 $(X_i, Y_i)$ 中对称的所有多项式中向量空间的 $K$ 上的多项式 $u_\gamma$ 形式基。

\* b) 假设 $K$ 具有特征 0。证明每个多项式 $u_\gamma$ 都等于对称函数中具有有理系数的多项式

（在考虑乘积$u, v_{\lambda \mu}$时，通过对$(A_i, \mu_i)$中的数进行归纳争论，其中$\nu = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \mu_1, \ldots, \mu_n)$中不是$(0, 0)$）。

c) 通过$(X_i, Y_i)$的*初等*对称函数，我们将理解$(0, \ldots, 0)$以外的元素$(A_i, \ldots, A_i, \mu_1, \ldots, \mu_n)$的$n(n+3)/2$多项式$w_{hk} = u$、相应的到轨道$\gamma$，并且使得对 $(\lambda_i, \mu_i)$ 中的 h 等于 $(1, 0)$，其他 k 个为 $(0, 1)$，其余 $n - h - k$ 为 $(0, 0)$。证明如果 $K$ 的特征为 0，则 $(X_i, Y_i)$ 中的每个对称多项式都等于初等对称函数中系数为 $K$ 的多项式（考虑和 $\sum_{i=1}^n (UX_i + VY_i)^k$，其中 U 和 V 是两个不定式，并使用 b)）。

d) 如果$K$是特征3的域，并且$n \geq 4$，则证明$\sum_{i=1}^n X_i^2 Y_i^2$不等于对称函数$w_{hk}$中系数在$K$中的任何多项式。 \*