习题 2, § 1

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代数, V

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令 $m, n$ 为整数，使得 $0 \leq n \leq m$ 。令 $p$ 为素数数，并令 $m = a_r + \alpha_1 p + \ldots + \alpha_n p'$ 和 $n = \beta_0 + \beta_1 p + \ldots + \beta_n p'$ 为基 $p$ 中 $m$ 和 $n$ 的展开，因此我们对 $0 \leq i \leq r$ 有 $0 \leq \alpha_i < p, \ 0 \leq \beta_i < p$ ；假设 $a_r \neq 0$ 。证明 $\binom{m}{n} \equiv 0 \pmod{p}$ 如果 $\beta_i > a_r$ 至少有一个指标 $i$ 。另一方面，如果 $\beta_i \leq \alpha_i$ 对应 $0 \leq i \leq r$ ，则

\left( \begin{array}{c} m \\ n \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array}{c} \alpha_0 \\ \beta_0 \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{c} \alpha_r \\ \beta_r \end{array} \right) \pmod{p}

（在 $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})[X]$ 我们有 $(1 + X)^m = (1 + X)^{\alpha_0}(1 + X^p)^{\alpha_1} \ldots (1 + X^{p'})^{\alpha_r}$ 。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。