习题 3, § 1

设$A$为交换环。对于每个多项式$f \in A[X]$，我们将多项式环$A[X, Y]$写入$A$上的两个不定式多项式，

其中$\Delta$因此是$A[X]$自身的$A$线性映射。 a) 如果 $Z$ 是不确定的，并且 $\tau_Z$ $A[X]$ 到 $A[X, Z]$ 的 $A$ 线性映射，使得 $\tau_Z f = f(X + Z)$，则证明 $\tau_Z \circ \Delta = \Delta \circ \tau_Z$（其中右侧 $\Delta$ 是上面在环中定义的映射） $B[X]$，其中$B = A[Z]$）。推断在 $A[X]$ 我们有

整数$m, n \geq 0$（cf.IV、p. 8）。 b) 假设$A$是特征$p > 0$的环，并且对于每个整数$k \geq 0$放入$D_k = \Delta_{p^k}$。证明如果 $f \in A[X]$ 和 $g \in A[X^{p^k}]$ 那么 $D_k(fg) = g \cdot D_k f + f \cdot D_k g$。 每个多项式$f \in A[X]$都可以唯一地写成形式$f(X) = \sum_{m=0}^{\infty} X^{mp^k} g_m(X)$，其中$\deg(g_m) < p^k$；表明

并推导出$D_k^p = 0$。

c) 对于每个整数$m > 0$，令$m = \alpha_0 + \alpha_1 p + \ldots + \alpha_k p^k$为基$p$中$m$的展开（集合理论，III，p. 177），因此$0 \leq a, < p$为$0 \leq j \leq k$；假设$a_j \neq 0$。表明

（如果$\Delta'_m$是这个关系的右边，注，如果我们引入展开$f(X + Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) X^q$，我们有$\Delta'_m f(X + Y) = \sum_{q=0}^{\infty} f_q(Y) \Delta'_m(X^q)$，并推断这可以写成$\Delta'_m f(X + Y) = f_m(X) + Yg(X, Y)$，其中$g$是一个多项式。）