习题 1, § 10

a) 设 K 为域，f 为 $K[X]$ 中的可分离多项式，f 的 N 分裂域。证明要使群 Gal(N/K) 在 N 中 f 的根的集合上进行传递运算，f 在 $K[X]$ 中不可约是充分必要的。 b) 进一步假设 f 在 $K[X]$ 中不可约；令 x 为 N 中 f 的根。为了不存在域 E 使得 $K \subset E \subset K(x)$（与 K 和 $K(x)$ 不同），Gal(N/K) 作为传递 N 中 f 的根集合的置换群是必要且充分的，应该是原始（I、p. 142、示例 13）。

习题