习题 11, § 10

a) 令 E 为有限次数的域 K 的可分扩张和由 E 生成的 K 的 N 伽罗瓦扩张。如果 $a$ 是 N 的元素，其共轭形式是 N 在 K 上的法线基并且如果$\beta = \mathrm{Tr}_{N/E}(a)$，证明$E = K(\beta)$。 b) 令 N 为有限次数的 K 的伽罗瓦扩张，并令 $a$ 为 N 的元素，其中共轭形式是 K 上的正规基。如果 L 是 N 的子扩展，它是 K 上的伽罗瓦，并且如果 $\beta = \mathrm{Tr}_{N/L}(a)$，则显示$\beta$ 形式的共轭是 K 上的正常基 L。 c) 令L，M为有限次数的K中的两个伽罗瓦扩张，使得$L \cap M = K$；令$\alpha$（分别$\beta$）为L（分别M）的元素，其共轭在K上形式是L（分别M）在K上的正常基；表明共轭超过$\alpha \beta$形式的K，正常基为$K(L \cup M)$。