习题 16, § 10

设 a 为整数，x₁、x2、x₃、x₄ 为 Q 的代数闭包中 P(X) = X⟧ − aX − 1 的根。 我们用 {x₁, ..., x₄} 的置换群来计算 P 的认同伽罗瓦群 G。 假设 Q(x₁) 包含没有二次子扩张（cf. V、p. 154 的示例 1）。 a) 证明 G = S₄ 或 A₄。 （使用V、p. 154的例1：P是不可约的，因此G是传递性的；进一步Q(x₁) 包含没有二次次扩张，因此x₁的稳定子 H不包含在G的指标 2的子群中，而[G : H] = 4；推断 G 不是 2 群，因此它的阶可以被 3 整除。） b) 设 6 = $\prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_i - x_j)$ 且 d = δ²。 证明 d = 4⁴ − 3³ a⁴；对于所有 s ∈ G，进一步 s(δ) = εₛδ。 如果 δ ∈ Q，则推导出 G = A₄，否则 G = G。 证明 6 不是有理数。 （因此，我们在 Q 上构造了次数 4 和伽罗瓦群 S₄ 的无限方程族。）