习题 22, § 10

令 m 为偶数整数 > 0，r 整数 $\geq 3$ 和 $n_1 < \ldots < n_{r-2}$，r - 2 偶数整数。放入$g(X) = (X^2 + m)(X - n_1) \ldots (X - n_{r-2})$。 a) 输入$f(X) = g(X) - 2$。证明 $f(X)$ 至少有 $r - 2$ 实数根。 C中f 根平方计算和。推断对于 $m \geq \sum n_i^2 / 2$，$f(X)$ 是一个具有整数系数的多项式，其中有 $r - 2$ 实数根和两个非实数共轭根。 b) 证明$f(X)$ 不可约于$\mathbf{Q}[X]$。 （写出$f(X) = X^r + \sum_{k=1}^r a_k X^{r-k}$；证明$a_r$是偶数并且$a_r$不能被4整除；应用例21。） c) 证明当 r 为素数且 $m \geq \sum n_i^2 / 2$ 时，则 f 的分裂域的伽罗瓦群 G 同构于 $\mathfrak{S}_r$ (cf. V, p. 158, 例 17)。 d) 证明当$r = 4$和$m \geq \sum n_i^2 / 2$时，次数超过分裂域的Q等于8或24，并且当且仅当$n_1 = -n_2$时它等于8，或者当且仅当$f(X)$是形式$P(X^2)$时，其中P是次数 2 的多项式。 \*