习题 18, § 11

设$p \in \mathbf{N}$是素数数，$C_p$是$\mathbf{Q}$的$p$级的分圆扩张，$\zeta \in C_p$是单位元和$n$整数的本原第p个根。写

a) 计算$d = [\mathbf{Q}(X_n(\zeta)) : \mathbf{Q}]$。 扩张$\mathbf{Q}(X_n(\zeta))$$\mathbf{Q}$确定伽罗瓦群和$X_n(\zeta)$共轭。 b) 令 $T^d + a_1 T^{d-1} + \ldots + a_d$ 为 $X_n(\zeta)$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的最小多项式。显示$a_1 = 0$。 c) 假设$n > 1$和$p \equiv 1 \pmod{n}$。如果$\frac{p-1}{n}$是偶数，则证明$a_1 = -\frac{n(n-1)p}{2}$；如果$\frac{p-1}{n}$是奇数，则证明$a_1 = \frac{np}{2}$。 d) 假设$p \equiv 1 \pmod{n}$。令$\beta \in \mathbf{F}_p^*$为元素，其中$\mathbf{F}_p^*/\mathbf{F}_p^{*n}$中的剩余类类为生成元。令$\mu$为等式$\sum_{i=1}^n \beta^{i-1} X_i^n = 0$的$\mathbf{F}_p^n$中解的数。显示$a_1 = \frac{(-1)^n p (\mu - p^{n-1})}{p-1}$ e) 当 $n = 3$ 和 $p = 7, 13, 19$ 时，计算 $a_1$。

\* ^1 最大的在其代数闭包中完全分支出 p-adic 数的域 $\mathbf{Q}_p$ 扩张，是与性质相同的特征 0 的域。 \*