习题 20, § 11

设 $p$ 为素数数，$G$ 为可交换的 $p$-挠场群 (VII, p. 10)。 a) 令$G_i \subset G$为元素$x \in G$的集合，这样对于每个$I$，方程$p^I y = x$有解。 证明 $G_i$ 是 $G$ 的 2 直因子。 b) 假设方程 $px = 0$ 在 $G$ 中只有有限的数解。 证明对于每个整数$I$，乘法的核$_iG$乘$G$中的$p^I$是有限群，并且向量$\mathbf{F}_p$的秩$r(l)$-空间$_lG / _{(l-1)}G$ 是 $I$ 的递减函数，因此对于 $I > I_0$ 来说是常数，$I_0$ 足够大。 （使用初等除子（VII，p. 24）的定理。 证明 $G/G_i$ 是有限群被 $p^{l_0}$ 消灭。） c) 进一步假设$G = G_i$。 证明映射 $l \mapsto r(l)$ 是常数。 写出$H = (\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^{(1)}$，证明对于每个$l$，都存在同构$_lG \to _lH$，并且每个同构$_lG \to _lH$扩展到同构$_{(l+1)}G \to _{(l+1)}H$。 推出$G$与$H$同构的。 d) 在b)的假设下，证明存在整数 $n$，并且将$\mathbf{N} - \{0\}$应用$i \to n_i$到$\mathbf{N}$，与有限支撑，使得$G$与$(\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^r \oplus \bigoplus_i (\mathbf{Z}/p^{n_i}\mathbf{Z})^{n_i}$同构的。 证明整数$n$和映射$i \mapsto n_i$由映射$l \mapsto \mathrm{Card}(_lG)$唯一确定。