习题 22, § 11

a) Let $k$ be a field, $f$ a separable monic polynomial in $k[X]$, $D$ a splitting extension of $f$, $x_1, \ldots, x_n$ the roots off in $D$ and $G$ the Galois group of $D$ over $k$. 假设$G$是循环的。 证明对于$G$到诱导的每一个元素，$x_i$的偶数置换，$f$的不可约因子的数与$f \mod 2$的次数全等是充分必要的（将$G$和分解的生成元$\sigma$考虑到由$u$引起的$x_i$的置换的循环中）。 b) 进一步假设$k$具有特征$\neq 2$。 证明上面两个条件等价于$f$的判别式应该是$k$中的平方（《Stickelberger的定理》）。