习题 1, § 12

a) 设 $q$ 为素数数的幂。证明对于每个整数 $n > 1$，如果 $h_i$ ($1 \leq i \leq r$) 是整数 $n$ 的不同素数除子，则元素 $\zeta \in \mathbf{F}_{q^n}$ 的数使得 $\mathbf{F}_{q^n} = \mathbf{F}_q(\zeta)$ 等于

（观察到这样的元素的特征是性质不是属于到任何域$\mathbf{F}_{q^{n/h_i}}$）。如果$h_1 \leq \ldots \leq h_r$，我们有 检查 $n$ 是素数幂的情况。 b) 令$b_n(q)$为次数$n$在$\mathbf{F}_q$上的单调不可约多项式的数。从 a) 推导出 $b_n(q)$ 的表达式。特别是，如果$q \geq 3$，证明$\mathbf{F}_q[X]$中不可约的次数$n$首一多项式（不一定是一元）的数至少等于$q^n(q-2)/n \geq q^{n+1}/3n$。 c) 证明$\sum_{d|n} d b_d(q) = q^n$（建立恒等式$1/(1-qT) = \prod (1-T^n)^{-b_n(q)}$）。 \* 使用莫比乌斯反演公式（谎言，II，p. 176，附录），证明 将此结果与 b) 中获得的结果进行比较。 d) 令$a_n(q)$为$\mathbf{F}_q[X]$中没有倍数因子的一元多项式的数。证明 $a_0(q) = 1,\ a_1(q) = q,\ a_n(q) = q^n - q^{n-1}$ 对应 $n > 1$（建立恒等式 $q^n = \sum a_{n-2i}(q)\ q^i$）。