习题 13, § 12

设 $p_1, p_2, \ldots, p_m$ 是不同的奇素数数和 $P = p_1 p_2 \ldots p_m$ ($m \geq 3$)。 a) 给定整数 $n \geq 1$，令 E 为次数 $\leq n$ $\mathbf{Z}[X]$ 中多项式的集合，其系数位于区间 (0, P[ of N ：因此我们有$\mathrm{Card}(E) = P^{n+1}$。令 k 为数，使得 $0 < k < 1/3n$；表明多项式 $f \in E$ 中至少有 $k^{m} P^{n+1}$ 使得对于每个指标 $j$ $1 \leq j \leq m$、典范像 $f_j$ $f$ $F_{p_j}[X]$ 的次数 $n$ 且不可约（使用例 1，b））。此外，假设 $k < \frac{1}{18(n-2)}$ 和 $n > 2$；以同样的方式论证并使用戴德金准则（例 12）表明，存在集合多项式 $f \in E$，基数至少等于 $(1 - 3(1-k)^m)P^{n+1}$，其中次数 $n$，不可约，且其伽罗瓦群超过 $\mathbf{Q}$ 为同构于 $\mathscr{G}_s$。 b) 对于每个整数$N$，令$L_{n,N}$为次数$\leq n$的$\mathbf{Z}[X]$多项式的集合，其系数属于到区间$(-N, N)$；因此我们有$\mathrm{Card}(L_{n,N}) = (2N+1)^{n+1}$。 整数 $n$ 固定，表明对于每个$\varepsilon$使得$0 < \varepsilon < 1$，都存在整数$N_0$，使得对于$N \geq N_0$，在多项式$f \in L_{n,N}$中至少存在$(1-\varepsilon)(2N+1)^{n+1}$，它们是不可约的次数$n$，并且其超过$\mathbf{Q}$的伽罗瓦群与$\mathfrak{S}_n$同构的（使用a））。