习题 6, § 12

令 K 为 q 元素的有限域，其中 q 不是 2 的幂。 a) 令$a_1, a_2, \ldots, a_n, b$为K的元素，使得$a_1a_2 ... a_n \neq 0$。证明方程 $a_1x_1^2 + \cdots + a_{2m}x_{2m}^2 = b$ 的解 $(x_1, ..., x_n) \in K^{2m}$ 的数 $\nu$ 由以下公式给出： 1" 如果 K 中 $b = 0$ 且 $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ 不是平方，则$\nu = q^{2m-1} - q^m + q^{m-1}$； 2" 如果 K 中 $b \neq 0$ 和 $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ 不是平方，则$\nu = q^{2m-1} + q^{m-1}$； 3" 如果 K 中 $b = 0$ 和 $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ 为平方，则$\nu = q^{2m-1} + q^m - q^m$； 4" 如果 $b \neq 0$ 和 $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ 在 K 中为平方，则$\nu = q^{2m-1} - q^{m-1}$。 （使用例 5 对 m 进行归纳论证。） b) 令$a_1, a_2, \ldots, a_{2m+1}, b$为K的元素，使得$a_1a_2 \ldots a_{2m+1} \neq 0$。表明方程的解 $(x_1, x_2, ..., x_{2m-1}) \in K^{2m+1}$ 数 $\nu$

由以下公式给出： 1" 如果 $b = 0$, $\nu = q^{2m}$; 2" 如果 K 中 $b \neq 0$ 且 $(-1)^ma_1a_2 ... a_{2m-1}b$ 不是平方，则$\nu = q^{2m} - q^m$； 3" 如果 $b \neq 0$ 和 $(-1)^ma_1a_2 ... a_{2m+1}b$ 是 K 中的平方，$\nu = q^{2m} + q^m$。（约化对于情况 a.）。