习题 7, § 12

设 K 为有限域，E 为 K 的次数 $n$ 的代数扩张，$(a_1, \ldots, a_n)$ 为 E 在 K 上的正规基；假设循环伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(E/K)$是由循环置换$\sigma = (\alpha_1\alpha_2 \ldots \alpha_n)$生成的。令 $\tau$ 为向量 K 空间 E 的自同构，使得对于每个 $x \in E$，$\tau(x)$ 为 E 上的共轭到 x（cf. V、p. 154，例 8）。 a) 证明如果 K 至少有 3 个元素，则$\tau$ 是域 E 的 K 自同构（约化到$\tau(\alpha_1) = \alpha_1$ 的情况，并考虑$\tau(a, + c\alpha_i)$ $c \in K$）。

b) 如果$K = F_2$，则表明对于每个元素$\rho \in \mathrm{Gal}(E/K)$、关系$\rho(\alpha_r) = \alpha_r$和$\rho(\alpha_s) = \alpha_s'$都意味着$r' - r \equiv s' - s \pmod{n}$。推论如果$n > 5$，$\tau$是域E的K-自同构。（注，如果$\tau(\alpha_1) = a$，并且$\tau(\alpha_1 + \alpha_h) = a_+ + \alpha_k$与$k \neq h$，我们必须有$h + k = n + 2$；由此推导出必然有$\tau(\alpha_2) = \alpha_n$并且$\tau(\alpha_4) = \alpha_4$ 或 $\tau(\alpha_4) = \alpha_{n-2}$ 这会导致矛盾。） c) 对于$K = F_2$和$3 \leq n \leq 5$，向量K空间E的自同构不是E的域自同构：

$n = 3, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \mapsto (\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2)$ $n = 4, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \mapsto (\alpha_1, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$ $n = 5, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) \mapsto (\alpha_1, \alpha_5, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$

但对于所有 $x \in E$，$\tau(x)$ 是共轭到 x。