习题 6, § 13

令 K 为特征 $p > 0$ 的域，E 为有限次数的 K 的代数扩张，N 为由 E 生成的 K 的拟伽罗瓦扩展。 a) 令 E_r 和 E_s（分别为 N_r 和 N_s）为 E（分别为 N）中包含的 K 的最大的 p 根扩展和最大的可分扩张。证明对于$E = E_r(E_s)$（在这种情况下E与$E_s \otimes_K E_r$同构的），$E_r = N_r$是充分必要的。 b) 如果 E 在 K 上的不完备性次数为 1，则 $E = E_r(E_s)$ 的充要条件为 N 在 K 上的不完备性次数为 1。 推出，如果 N 是 K 的拟伽罗瓦扩展，其在 K 上的不完备性次数等于 1，则$E = E_r(E_s)$对于 N 的每个子扩展 E（cf. 例 2，b））。 c) 相反，如果 N 是有限次数 K 的准伽罗瓦扩展，其 K 上的不完善性次数为 $> 1$，则表明如果 $N_r \neq N$，则存在 $t \in N$，使得对于 K 的扩张 $E = K(t)$，我们有 $E \neq E_r(E_s)$（如果 a、b 是两个） N 在 $K(N^p)$ 上的 p 基的元素，如果 $x \in N$ 在 K 和 $x \notin K$ 上可分，则取 $t = a + bx$）。