习题 18, § 14

令 K 为形式幂级数的域和 $K((X))$ 域，在 K 上的一个不定式中（IV，p. 38）。证明$\operatorname{tr.} \deg_K K((X)) = \operatorname{Card}(K^N)$。区分两种情况： a) 如果$\operatorname{Card}(K) < \operatorname{Card}(K^N)$，则注即$\operatorname{Card}(K((X))) = \operatorname{Card}(K^N)$。 b) 如果 $\operatorname{Card}(K) = \operatorname{Card}(K^N)$，令 P 为 K 的素数子域，$K((X))$ 的元素的 S 无限集合，其在代数上独立于 K 和所有形式幂级数属于的系数 T 集合到 S。 L 是代数闭包的亲戚

域 K(S) 的 K((X)) 和 L 的 u 元素 ；有一个方程$g(s_1, ..., s_m, u) = 0$，其中$g \neq 0$是S的$K[X_1, ..., X_n, X_{m+1}]$和$s_1, ..., s_m$元素中的多项式。设A为多项式g的系数的集合和形式幂的系数的$C(u)$集合级数u;证明域 P(T)(A U C(u)) 是 P(T U A ) 上的代数（用 K 的 $\Omega$ 代数闭包表示，证明否则将存在无穷大的形式幂级数 $v \in \Omega((X))$ 满足方程$g(s_1, ..., s_m, v) = 0$。使用例 1，证明如果 Card(S) < Card(K)，则 K 对 P(T) 的超越次数是无限的，并推断出在这种情况下 L 与 K((X)) 不同（如果 $(t_n)_{n \geq 0}$ 是元素的无限序列） K 在代数上独立于 P(T)，考虑形式幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} t_n X^n$)。