习题 6, § 15

令$K$为特征$p > 0$的域，$K$的$E$可分扩张，以及$E$在$K(E^p)$上的$B$ ap基。 a）证明$B$在$K$上是代数自由的（考虑$B$的元素之间至少次数的代数关系，并将形式$kp + h$中出现的变量的次数与$0 \leq h \leq p - 1$）。推论如果$\operatorname{tr. deg}_K E < +\infty$，则$E$超过$K$的不完美度次数至多等于$\operatorname{tr. deg}_K E$。 b) 证明$E$是可分的，并且相对于$K(B)$来说相对完美。