习题 6, § 16

令K为特征$p > 0$的域，K的E扩张，使得存在整数$h \geq 0$，其中$K(E^{p^h})$可在K上分离（当E是K的有限生成的扩张时总是这种情况）。 a) 如果C是E在$K(E^p)$上的p基，则存在C的子集B，使得$B^{p^h}$是$K(E^{p^h})$在$K(E^{p^{h+1}})$上的p基； B 是 K 上的代数自由集合。 证明扩张 $F = K(E^{p^h})(B)$ 在 K 上可分，且 E 是 F 的代数扩张。 b) 证明 B 是 F 在 $K(F^p)$ 上的 ap 基。 证明如果 $x \in E$ 且 $m$ 是最小的整数，使得 $x^{p^m} \in F$，则 $x^{p^m} \in K(F^{p^m})$；因此E是域$K^{p^{-\infty}}(F)$的子域（与$K^{p^{-\infty}} \otimes_K K$同构的）。 如果 E 的子外延 F 在 K 上可分并且 E 是子域 of $K^{p^{-m}}(F)$，则称其是可区分的； 那么 F 是 E 中 K 的最大值可分扩张。 c) 设P为两个不定式中特征$p > 0$的完美域、有理分式的$K = P(X, Y)$域以及$K$上的有理分式$K(Z)$的域$\Omega$代数闭扩张。 如果$u \in \Omega$使得$u^p = X + Y Z^p$，则证明$E = K(Z, u)$是$K$的扩张，使得$K(Z)$和$K(u)$是$E$的两个不同的子扩展，因此不存在$E$的*更大*可分离子扩展。 如果$v \in \Omega$满足$v^{p^2} = X + Y Z^p$，则证明在扩张$E' = K(Z, v)$中，$K(Z)$是$E$的最大可分子扩展，但不是可区分子扩展。