习题 2, § 17

令 K 为特征 p > 0 的域，K 的 $\Omega$ 扩张和 E、F $\Omega$ 的两个子扩展，代数上为 K 上的不相交的。 a) 令 F_s 为 F 中 K 的相对可分闭包。证明 E(F_s) 是 E(F) 中 E 的相对可分闭包。 (约化对于F_s = K的情况；设B是E对K的超越基，K'是F中K的相对代数闭包，它是F上的根式；那么(V，p. 137) K'(B)是F(B)中K(B)的相对代数闭包，并且是如果 x ∈ E(F) 是 E 上的代数，则存在整数 r ≥ 0 使得 $x^{p^r} \in M$，其中 M 是 F(B) 的有限次数的可分扩张，且在 $F(B)$ 由……组成上有基 $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ $E$的元素。如果$y = \sum b_i u_i$与$b_i \in F(B)$，则通过考虑$M$到$E(F)$的代数闭包的$F(B)$同构来证明$b_i$属于到$K'(B)$并推导 that $y$ is p-radical over $E$.) b) 假设$E$和$F$在$K$上是线性不相交的，$K$在$F$上相对代数封闭，并且$E$是$K$的可分扩张。证明 $E$ 在 $E(F)$ 中是相对代数封闭的。 （约化对于$E$是$K$的可分离代数扩张的情况，借助V、p. 138。从a）推导出$E(F)$中$E$的相对值代数闭包为$E$ 上的 p 根式，然后使用以下事实：如果 $(a_i)$ 是 $E$ 的基超过 $K$，则 $a_i^{p'}$ 也是 $E$ 的形式基超过 $K$。）