习题 5, § 17

令$K$为域，$p$为其特征指数。对于每个整数$n > 0$且对$p$素的，用$R_n(K) = K(\mu_n)$的$K$上的$\varphi_K(n)$次数表示，其中$\mu_n$表示单位元的第n个根中的群 $K$ 中的代数闭包。对于例 $\varphi_Q(n) = \varphi(n)$（V、p. 84、第 2 个）；如果 $K$ 和 $q$ 元素是有限的，$\varphi_K(n)$ 是$(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ 中$q$ 剩余类类阶 (V, p. 97, Cor.) ；如果 $K$ 是代数封闭的，则 $\varphi_K(n) = 1$ 对于所有 $n$。 a) 令$E$为$K$中素数域$K_p$的相对值代数闭包。显示$\varphi_K(n) = \varphi_{F_p}(n)$。 b) 假设$K$是$K_p$的有限生成的扩张。设$m$为整数$> 0$；那么存在整数 $N > 0$ 可以被每个 $n$整除，使得$\varphi_K(n) \leq m$。 c) 设$s$为有限阶的$GL_m(K)$中的元素。证明 $s^N$ 有阶幂的 $p$。 （我们有$s = tu = ut$，其中$u$有$p$的阶幂，$t$有阶$n$素的$p$。元素$t$是可分离多项式$X^n - 1$的根及其特征多项式；推论由$t$生成的$M_m(K)$的子代数$A$是次数$\leq m$的etale，与乘积同构扩张$R_d(K)$，其中$d$超过$n$的某些除子，包括$n$本身，因此使用$\varphi_K(n) \leq m$；