习题 10, § 3

设 K 为域，P 为环 $K[X, Y]$ 的两个不定式多项式。假设存在一个多项式$H \in K[X]$和两个多项式Q，R$\in K[X, Y]$，使得$H(X)P(X, Y) = Q(X, Y)R(X, Y)$和$Q(X, Y)$的系数（Y中的多项式）是$K[X]$中的多项式，没有非常数公共的因子。证明 $R(X, Y)$（Y 中的多项式）的所有系数均可被 $H(X)$ 整除。 （将 H、P、Q、R 视为 X 中域 $K(Y)$ 上的多项式，并将它们分解为 $\Omega[X]$ 中第一个次数的因子，其中 $\Omega$ 是 $K(Y)$ 的代数闭包；观察到，如果$H(X)$和$Q(X, Y)$在公共的中具有第一个次数的因子，这个因子将除所有$Q(X, Y)$的系数，作为Y中的多项式，并使用事实（IV， p. 12) 如果$K'$是K的扩张，则$K[X]$属于到$K[X]$的两个多项式在$K'[X]$的GCD。) \*