习题 7, § 3

令L为域，L的A子环以及A的分数的$K \subset L$域。 a) 证明如果 L 是有限生成A-模 (II, p. 206) 则必然 $A = K$ （通过考虑 L 中 K 的补充子空间，对 K 进行向量空间，表明 K 是有限生成A-模，因此必然是形式$s^{-1}A$，其中$s \in A$；最终表明s在A)中必定是可逆的。 b) 证明如果存在 L 的元素 $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) 的有限数，在 K 上代数，使得 $L = A[x_1, \ldots, x_n]$，则 A 中存在元素 $b \neq 0$ 使得 $K = A[b^{-1}]$ （证明存在A 中的$b \neq 0$使得L是有限生成的$A[b^{-1}]$-模块）。证明 b 是可逆的（且 $K = A$），或者包含的每个非零理想都是主理想 $Ab^m$。 逆命题。正式幂级数超过域k的环$k[[X]]$是这个型的环。