习题 1, § 5

a) 令 E 为域 K 的扩张，$x \in E$ K 上的超越元素，并令 $F = K(x^n)$ 为整数 $n > 1$。证明如果交 $F \cap K[(x-1)(x^n-1)]$ 与 K 不同，则 K 具有特征 $p > 0$ 和 $n = p^e$，因此 $K(x)$ 是 F 的 p 根式扩展。（写出 $y = x-1$ 并使用 V、p. 149 的例 12、b），证明$(y+1)^n - 1 = a y^n$ $a \in K$。） b) 证明如果 $K \subset F' \subset K(x)$ 且 $K(x)$ 不是 $F'$ 的 p 根式扩展，并且如果 $K \neq F' \neq K(x)$，则存在 $z \in K[x]$ 使得 $z \notin K$ 和 $F' \cap K[z] = K$。 （通过反证论证，使用a）和Ex。 12，b) 的V，p. 149。）

c) 在与b)相同的假设下，假设$F' = K(y)$，其中$y \in K[x]$；证明存在$u \in K[x]$使得$u \notin K$和$F' \cap K(u) = F' \cap K[u] = K$。 （观察一下，如果这是假的，我们应该对所有$z \in K[x]$有$F' \cap K[z] \neq K$，这样$z \notin K$，使用例12，c）中的V，p. 149。）