习题 8, § 9

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代数, V, p. 154

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令 K 为无限域，E 为有限次数的 K 和向量 K 空间 E 的 τ 自同构的代数扩张，使得对于所有 x $\in E$ ， $\tau(x)$ 是 K 上 x 的共轭。证明 τ 是域 E。（令 N 为由 E 生成的 K 的拟伽罗瓦扩展，令 Γ 为 N 的 K-自同构的群，所有 E-自同构的 Γ 由……组成的 A 子群，以及左代表的 $\sigma_j$ ( $1 \leq j \leq r$ ) 系统 A 的陪集。如果 $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是向量 K 空间 E 的基，则考虑多项式

F(X_1, ..., X_n) = \prod_{j=1}^r \left( \sum_{i=1}^n (\tau(u_i) - \sigma_j(u_i)) X_i \right)

解答

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