习题 20, § 1

令$G$为加法群，并令$P$为$G$满足以下条件中的子集： 1. $P + P = P$； 2. $P \cap (-P) = (0)$； 3. 对于每个整数 $n > 0$，$nx \in P$ 意味着 $x \in P$ (条件 (C))。

习题

a) 如果a是G的元素，且有$\notin P$，则证明G存在子集 P'，满足条件 (C')，使得$P \subset P'$和$-a \in P'$（取P'为集合 $x \in G$使得存在整数$m > 0$和$n \geq 0$以及元素$y \in P$和$mx = -na + y$。

b) 从a)推导出P是G的那些子集T中的交，使得$T + T = T, T \cap (-T) = \{0\}, T \cup (-T) = G$（即，使G成为全序群）和$P \subset T$（使用Zorn的引理）。

c) 特别地，如果 G 是加法群，其中每个非零元素都有无限的阶，则 G 的所有子集 T 中的交使得 $T + T = T, T \cap (-T) = (0)$ 和 $T \cup (-T) = G$ 是 $\{0\}$。