习题 25, § 1

令 I 为交换环 A 理想的半格有序幺半群（例 24）。 For a finite system of congruences $x \equiv a_i (a_i)$ to admit a solution whenever any two of them admit a common solution (that is to say whenever

对于指标 i, j) 中的每一个对，律中的每一个都是充分必要的

in I be distributive over the other ("Chinese remainder theorem"). 可以按如下方式进行： a) 如果 $(a_1 \cap a_2) + (a_1 \cap a_3) = a_1 \cap (a_2 + a_3)$ 并且三个同余 $x \equiv a_i (a_i)$ ($i = 1, 2, 3$) 中的任意两个承认公共的解，则这三个同余有公共的解 （令 $x_{12}$ 为公共的解 $x \equiv a_1(a_1)$和$x \equiv a_2(a_2)$，并令$x_{13}$为$x \equiv a_1(a_1)$和$x \equiv a_3(a_3)$的公共的解；表明同余$x = x_{12}(a_1 \cap a_2)$和$x \equiv x_{13}(a_1 \cap a_3)$有公共的解）。 b) 如果三个同余中的任何一个系统，其中任何两个具有公共的解，承认公共的解，则表明以下分配律成立

（对于第一个，注，对于所有$x \in (a + b) \cap (a + c)$，存在$y \in b \cap c$，使得$y \equiv x(a)$；对于第二个，注，对于所有$x \in a \cap (b + c)$，存在$y \in a \cap b$，使得$y \equiv x(c)$。）注，通过a）和b），第二个分配式律意味着第一个（cf. 集合理论，III，p. 217，示例 16）。 c) 通过与a)类似的论证，证明所考虑的同余中数上的归纳的“中文余数定理”。 d) 主理想整环情况下的翻译。