习题 11, § 2

设 $K$ 为有序域，且 $G$ 子域为 $K$。 a) 证明$x \neq 0$相对于$G$无限大当且仅当$x^{-1}$相对于$G$无限小。如果$K$中没有相对于$G$无限大的元素（因而，$K$中也没有相对于$G$无限小的非零元素），我们说$K$可与$G$进行比较。对于 $K$ 与其素数子域 $\mathbf{Q}$ 的必要且充分的条件是$K$ 是阿基米德（VI，p. 35，例 31），\*，因而 $K$ 同构于子域 / $\mathbf{R}$（VI、p. 36、Ex. 33c））。 ■ b) 证明，$K$的元素的环、$F(G)$相对于$G$不是无限大，元素的集合$I(G)$相对于$G$无限小，是极大理想；此外，从$F(G)$导出的商域$K(G) = F(G)/I(G)$的排序与环结构兼容并且是总的。 c) 证明类对$I(G)$取模可以包含至多$G$中的一个元素；推导出从$G$到$K(G)$的自然映射是从有序域$G$到$K(G)$的子域$G'$的同构，并且$K(G)$相当于$G'$。